Calcolo del termine noto

Il contributo locale (11) al termine noto $f$ nell'equazione $i$-esima del sistema (9) per un nodo $i$ interno al dominio ${\cal S}$ o appartenente a $\Gamma_u$ ha espressione:

$$f_i^{(e)} = \int \!\!\! \int_{{\cal S}^{(e)}} \; \frac{p}{h} \xi_i dS^{(e)}$$ (16)

Nel caso in esame, si è assunto $p/h=-5/4 \pi^2$   sen$(\pi x)$   cos$(\pi/2 \; x)$. L'integrale (16) non è facilmente risolubile in modo esatto e ci limitiamo a ricavarne un'approssimazione per via numerica. Se la discretizzazione del dominio è sufficientemente fitta, la funzione $p/h$ non varia molto all'interno di ${\cal S}^{(e)}$ e può quindi essere trattata come una costante. Approssimiamo $p/h$ con il valore che essa assume nel punto $(x_{G^{(e)}}, y_{G^{(e)}})$ baricentro dell'elemento $e$ ottenendo:

$$f_i^{(e)} = -\frac{5}{4} \pi^2 \left(\pi x_{G^{(e)}}\right) \left(\frac{\pi}{2} y_{G^{(e)}}\right) \int \!\!\! \int_{{\cal S}^{(e)}} \; \xi_i dS^{(e)} = -\frac{5 \Delta}{12} \pi^2 \left(\pi x_{G^{(e)}}\right) \left(\frac{\pi}{2} y_{G^{(e)}}\right)$$ (17)

che risulta uguale per tutti i nodo appartenenti al medesimo triangolo. Si dimostra che assemblare i contributi definiti dalla (17) è equivalente a calcolare la componente $i$-esima del termine noto globale come:

$$f_i = \frac{1}{3} \frac{p(x_i,y_i)}{h} \sum_e \Delta = -\frac{5}{12} \left( \pi x_i \right) \left( \frac{\pi}{2} y_i \right) \sum_e \Delta$$ (18)

dove la sommatoria è estesa a tutti i triangoli che hanno un vertice nel nodo $i$. In sostanza, si può dire che il termine noto è pari al prodotto tra il termine noto della (1) e l'area di afferenza del nodo $i$, cioè 1/3 dell'area del patch di triangoli che condividono il nodo $i$. Può essere quindi conveniente predisporre un vettore contenente l'area di afferenza relativa a ciascun nodo della griglia di calcolo.

Per i nodi situati lungo il boundary $\Gamma_q$ il termine noto locale ha espressione:

$$f_i^{(e)} = \int \!\!\! \int_{{\cal S}^{(e)}} \; \frac{p}{h} \xi_i dS^{(e)} - \int_{\Gamma_q^{(e)}} q \xi_i \; d\Gamma^{(e)}$$ (19)

Alla quantità calcolata mediante la procedura sopra illustrata per i nodi interni ad ${\cal S}$ o situati su $\Gamma_u$ va sottratto un integrale di bordo esteso a tutti gli elementi contenenti il nodo $i$ e con un lato posto su $\Gamma_q$. La funzione base $\xi_i$ lungo il lato dell'elemento $e$ per il quale $i$ è uno degli estremi si riduce ad una retta che assume valore 1 su $i$ e 0 in corrispondeza all'altro estremo (Figura 4). Utilizzando ancora la ``midpoint rule'' e ricordando l'espressione di $q=-\pi$   cos$(\pi/2 \; y)$, il secondo integrale della (19) risulta:

$$\int_{\Gamma_q^{(e)}} q \xi_i d\Gamma^{(e)} = - \pi \left( \frac{\pi}{2} y_{M^{(e)}} \right) \int_{\Gamma_q^{(e)}} \xi_i d\Gamma^{(e)} = - \frac{\pi l}{2} \left( \frac{\pi}{2} y_{M^{(e)}} \right)$$ (20)

dove $M^{(e)}$ è il punto medio del lato di $e$ posto su $\Gamma_q$ ed $l$ è la sua lunghezza. Come osservato in precedenza, l'assemblaggio dei contributi (20) al termine noto è equivalente a modificare la sua componente $i$-esima (18) aggiungendo il contributo:

$$-\frac{1}{2} q(y_i) \sum_e l = \frac{\pi}{2} \left( \frac{\pi}{2} y_i \right) \sum_e l$$ (21)

dove la sommatoria è estesa a tutti i triangoli che hanno un vertice nel nodo $i$ ed un lato su $\Gamma_q$. In altri termini, la condizione di Neumann (3) si impone modificando il termine noto dei nodi situati su $\Gamma_q$ ed aggiungendovi l'opposto di $q$ calcolato in $i$ moltiplicato per la lunghezza del segmento afferente al nodo $i$ lungo $\Gamma_q$, cioè 1/2 della lunghezza totale dei segmenti di bordo che condividono il nodo $i$. Anche in questo caso può essere conveniente predisporre un vettore contenente la lunghezza del bordo afferente a ciascun nodo su cui viene assegnata una condizione di Neumann.