Imposizione delle condizioni al contorno

Si verifica facilmente che la matrice locale $H^{(e)}$ è singolare. Infatti la somma delle righe (colonne) produce la riga (colonna) nulla. Ciò comporta ovviamente che anche la matrice globale $H$ sia singolare, come si poteva altresì dedurre dal fatto che, se si prescinde dalle condizioni al contorno, la (1) ammette un'infinità di soluzioni. L'imposizione delle condizioni al contorno, che nel caso in esame corrispondono alla predisposizione di vincoli alla membrana per bloccare gli spostamenti sulla frontiera, trasforma la $H$ in una matrice regolare. Si tratta, quindi, di imporre sul contorno delle condizioni di Dirichlet.

Le condizioni al contorno di Dirichlet si impongono preassegnando il valore dello spostamento nella fase di soluzione del sistema globale. Per far questo sarebbe necessario imporre un valore unitario al termine diagonale corrispondente al nodo di Dirichlet, azzerare tutti gli elementi extradiagonali della riga e della colonna corrispondenti, ed uguagliare il termine noto al valore della condizione di Dirichlet. Poiché è piuttosto complesso, data la simmetria di $H$ e la sua memorizzazione compatta, cercare tutti i termini extradiagonali relativi alla colonna del nodo di Dirichlet, conviene sostituire l'elemento diagonale della matrice di rigidezza con un valore molto grande, ad esempio $R_{max}=10^{15}$, ed uguagliare il termine noto corrispondente al valore di Dirichlet moltiplicato per $R_{max}$. Nel nostro caso, basterà moltiplicare per $R_{max}$ l'elemento diagonale ed annullare il termine noto corrispondente. In questo modo la condizione al contorno sarebbe soddisfatta esattamente se $R_{max}$ fosse $\infty$; in pratica, è sufficiente usare $R_{max}$ circa 10 ordini di grandezza maggiore degli elementi di $H$.