Calcolo e assemblaggio dei contributi locali

Figura 3: Generico elemento triangolare $i$, $j$, $m$.

Suddividiamo il dominio $\cal S$ in elementi triangolari $e$ ed indichiamo con $\hat{u}^{(e)}$ la soluzione approssimata sull'elemento $e$:

$$\hat{u}^{(e)}(x,y) = \sum_{k=1}^3 u_k \xi_k(x,y)$$ (12)

Nel generico elemento triangolare di Figura 3 $\hat{u}^{(e)}$ varia linearmente in funzione delle variabili nodali $u_i$, $u_j$, $u_m$, che rappresentano la soluzione $\hat{u}$ sui nodi $i$, $j$, $m$. Le funzioni di forma $\xi_k$, infatti, sono calcolate utilizzando un'interpolazione lineare e sono convenientemente scelte in modo tale da:

• assumere valori non nulli solamente all'interno dell'elemento (supporto locale);
• valere 1 sul nodo cui sono associate e 0 sugli altri.

Esse assumono pertanto l'espressione:

$$\xi_i \left( x, y \right) = \left( a_i + b_i x + c_i y \right) / 2 \Delta$$

$$\xi_j \left( x, y \right) = \left( a_j + b_j x + c_j y \right) / 2 \Delta$$ (13)

$$\xi_m \left( x, y \right) = \left( a_m + b_m x + c_m y \right) / 2 \Delta$$

dove $\Delta$ è l'area dell'elemento:

$$\Delta = \frac{1}{2} \left\vert \begin{array}{ccc} 1 & x_i & y_i \\ 1 & x_j & y_j \\ 1 & x_m & y_m \end{array} \right\vert$$    ,$$$$

i coefficienti $a_i$, $b_i$ e $c_i$ sono dati da:

$$\begin{array}{ccc} a_i = x_j y_m - x_m y_j \\ b_i = y_j - y_m \\ c_i = x_m - x_j \end{array}$$

e gli altri si ottengono con una permutazione degli indici in senso antiorario:

$$a_j = x_m y_i - x_i y_m \;\;\;\;\;\; b_j = y_m -y_i \;\;\;\;\;\; c_j = x_i - x_m$$

$$a_m = x_i y_j - x_j y_i \;\;\;\;\;\; b_m = y_i -y_j \;\;\;\;\;\; c_m = x_j - x_i$$

L'andamento delle funzioni basi $\xi_k$ è mostrato in Figura 4.

Figura 4: Funzioni base lineari definite sul generico triangolo di vertici $i$, $j$, $m$.

Il termine generico della matrice locale del sistema FEM (detta matrice di rigidezza locale) dalla (10) vale:

$$h_{ij}^{(e)} = \int \!\!\! \int_{{\cal S}^{(e)}} \; \left[ \frac{... ...rtial y} \right] dS^{(e)} = \frac{1}{4 \Delta} \left( b_i b_j + c_i c_j \right)$$ (14)

e quindi la matrice di rigidezza locale $H^{(e)}$ per un elemento triangolare a 3 nodi si può esprimere come:

$$H^{(e)} = \frac{1}{4 \Delta} \left\{ \left[ \begin{array}{ccc} b_... ...& c_j c_j & c_j c_m c_m c_i & c_m c_j & c_m c_m \end{array} \right] \right\}$$ (15)

I contributi (15) vanno assemblati nella matrice di rigidezza globale $H$ attraverso la matrice dei puntatori TRIJA, costruendo in tal modo il vettore reale SYSMAT dei termini non nulli della matrice di rigidezza.