Formulazione del problema

La deformazione di una membrana elastica sottile, di spessore costante, perfettamente flessibile, poggiata ed uniformemente tesa al contorno e caricata ortogonalmente da una pressione costante è governata dall'equazione differenziale:

$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = \frac{p}{h}$$ (1)

dove:

• $u$ [L]: spostamento verticale dei punti della membrana;
• $p$ [F/L$^2$]: pressione esercitata ortogonalmente alla membrana;
• $h$ [F/L]: tensione radiale esercitata al bordo.

Figura 1: Configurazione geometrica della membrana elastica.

Nella presente esercitazione si vuole risolvere numericamente il problema (1) in un dominio quadrangolare ${\cal S}$ definito come (Figura 1):

$${\cal S}=\left\{(x,y):-1\leq x \leq1, -1\leq y \leq1\right\}$$

Si ponga $h=1$ e $p=-5/4 \pi^2$   sen$(\pi x)$   cos$(\pi/2 \; y)$ con le seguenti condizioni imposte sulle porzioni $\Gamma_u$ e $\Gamma_q$ del contorno $\Gamma$ di ${\cal S}$:

$$u = 0 \Gamma_u = \left\{ (x,y):-1\leq x \leq1, y=\pm 1 \right\}$$ lungo (2)

$$\frac{\partial u}{\partial n} = q = - \pi \left(\frac{\pi}{2}y\right) \Gamma_q = \left\{ (x,y):x=\pm 1, -1\leq y \leq1 \right\}$$ lungo (3)

La soluzione analitica di questo boundary value problem è:

$$u \left( x, y \right) = (\pi x) \left(\frac{\pi}{2}y\right)$$ (4)

L'equazione (1) con le condizioni al contorno (2) e (3) viene risolta usando il metodo degli elementi finiti (FEM) con elementi triangolari e funzioni base lineari.