Soluzione agli elementi finiti

Il funzionale associato all'equazione (1) e modificato per tener conto delle condizioni al contorno non omogenee (3) si scrive:

$$\Omega \left( u \right) = \int \!\!\! \int_{\cal S} \; \left\{ \f... ... \right)^2 \right] + \frac{p}{h} u \right\} dS - \int_{\Gamma_q} q u \; d\Gamma$$ (5)

È infatti immediato osservare che l'equazione di Eulero relativa ad $\Omega$ è esattamente la (1). Esso deve essere minimizzato sul dominio quadrangolare $\cal S$ soggetto alla condizione al contorno (2).

Procediamo seguendo il metodo variazionale di Ritz. Si scriva la soluzione approssimata $\hat{u}$ come:

$$\hat{u} = \sum_{i=1}^{n} u_i \xi_i \left( x, y \right)$$ (6)

dove $\xi_i \left(x,y\right)$, $i=1,\ldots,n$ sono opportune funzioni di forma o funzioni base ed $u_i$ corrispondono ai valori puntuali assunti da $u$ su $n$ punti del dominio $\cal S$ (incognite del problema). Sostituendo $\hat{u}$ in (5) ed annullando le derivate di $\Omega \left(\hat{u}\right)$ rispetto ai coefficienti $u_i$ al fine di determinare la soluzione approssimata che minimizza il funzionale si ottiene:

$$\frac{\partial \Omega \left( \hat{u} \right)}{\partial u_i} = \in... ...\right] dS = 0 - \int_{\Gamma_q} q \xi_i \; d\Gamma \;\;\;\;\; i = 1, \ldots, n$$ (7)

Sostituendo in (7) l'espressione (6) di $\hat{u}$ si ha:

$$\int \!\!\! \int_{\cal S} \; \left[ \sum_{j=1}^n \left( \frac{\pa... ...- \int_{\Gamma_q} q \xi_i \; d\Gamma \right] dS = 0 \;\;\;\;\; i = 1, \ldots, n$$ (8)

Le (8) costituiscono un sistema di $n$ equazioni nelle $n$ incognite $u_1, u_2, \ldots, u_n$:

$$H \bu + \mbox{\boldmath$f$} = \mbox{\boldmath$0$}$$ (9)

Il sistema (9) possiede un'infinità di soluzioni e per renderlo determinato occorre imporre la condizione al contorno (2).

Come funzioni base utilizziamo dei polinomi di interpolazione bidimensionali continui a tratti e con supporto locale. Pertanto, l'espressione assunta dal coefficiente $h_{ij}$ dell'equazione $i$-esima che moltiplica l'incognita $u_j$ è il risultato dell'assemblaggio dei contributi locali $h_{ij}^{(e)}$:

$$h_{ij} = \sum_e h_{ij}^{(e)} = \sum_e \int \!\!\! \int_{{\cal S}^... ...{\partial \xi_j}{\partial y} \frac{\partial \xi_i}{\partial y} \right] dS^{(e)}$$ (10)

mentre il termine noto $f_i$ della medesima equazione è:

$$f_i = \sum_e f_i^{(e)} = \sum_e \int \!\!\! \int_{{\cal S}^{(e)}}... ...ac{p}{h} \xi_i dS^{(e)} - \sum_e \int_{\Gamma_q^{(e)}} q \xi_i \; d\Gamma^{(e)}$$ (11)

L'equazione (10) ci permette di osservare che la matrice di rigidezza $H$ è simmetrica e definita positiva. In più, la scelta di utilizzare come funzioni base dei polinomi a supporto locale fa sì che $H$ sia anche sparsa. Pertanto il sistema (9) può essere efficientemente risolto con il metodo del Gradiente Coniugato Modificato (GCM).