Applicazione del GCM al problema degli autovalori

A causa del significato e dell'importanza di $\lambda_n$ e $\bv_n$ in molteplici applicazioni di ingegneria civile (corrispondono rispettivamente alla prima frequenza fondamentale ed al primo modo di vibrare di una struttura elastica) conviene applicare una tecnica più efficiente del metodo delle potenze.

Si consideri il seguente campo scalare in $\Re^n$:

$$q \left( \bz \right) = \frac{\bz^T A \bz}{\bz^T \bz}$$ (9)

Si osservi che, se $\bz=\bv_i$ autovettore di $A$, allora:

$$q \left( \bv_i \right) = \frac{\bv_i^T A \bv_i}{\bv_i^T \bv_i} = \frac{\lambda_i \bv_i^T \bv_i}{\bv_i^T \bv_i} = \lambda_i$$ (10)

Inoltre $q$ è stazionaria per ogni autovettore di $A$, cioè il gradiente del campo scalare $q$ in $\bv_i$ è nullo. Infatti:

$$\bg = \left[ q \left( \bz \right) \right] = \frac{2}{\bz^T \bz} \left[ A \bz - q \left( \bz \right) \bz \right]$$ (11)

e ricordando la (10), si nota immediatamente che $\bg$ calcolato in $\bv_i$ è il vettore nullo per la definizione (1) di autovalori ed autovettori. Ne consegue, quindi, che i $\lambda_i$ sono massimi o minimi relativi per $q$ e pertanto dovrà valere:

$$\lambda_n \leq q \left( \bz \right) \leq \lambda_1$$ (12)

cioè gli estremi di $q$ coincidono con gli autovalori estremi di $A$ e si determinano in corrispondenza degli autovettori ad essi collegati. La funzione $q \left( \bz \right)$ definita in (9), dotata di queste importanti caratteristiche, è chiamata quoziente di Rayleigh.