Applicazione del codice

Lo studente implementi un codice di calcolo robusto ed efficiente per la soluzione numerica del problema descritto nel primo paragrafo della presente nota mediante la tecnica degli elementi finiti. Si verifichi la correttezza del codice confrontando la soluzione numerica ottenuta con quella analitica (4). Quindi si studi la convergenza del metodo quando la dimensione degli elementi finiti triangolari sia progressivamente ridotta secondo un fattore costante. Si pensi di raffinare la griglia triangolare secondo lo schema illustrato in Figura 5. Ogni triangolatura più fine è ottenuta dalla precedente aggiungendo un nuovo nodo sul punto medio di ciascun lato. Pertanto ad ogni raffinamento i triangoli quadruplicano. La cosa interessante è che i nodi delle griglie più grossolane sono un sottoinsieme di quelle più fini ed il rapporto fra le lunghezze dei lati si dimezza ad ogni raffinamento.

Figura 5: Schema di raffinamento della griglia ad elementi finiti.

Lo studio della convergenza degli elementi finiti alla soluzione analitica consiste nel raffinare la mesh 3 o 4 volte, risolvere il problema della deformazione e dell'autovalore/autovettore minimo e verificare i seguenti due importanti risultati:

1. la norma euclidea dell'errore diminuisce come $\ell^2$, dove $\ell$ è una dimensione rappresentativa della triangolazione (in pratica dell'ordine del lato di un qualsiasi triangolo);
2. l'autovalore minimo e l'autovettore ad esso associato convergono ad un valore limite al progredire del raffinamento della mesh.

La norma euclidea della funzione errore è per definizione:

$$\varepsilon = \left[ \int \!\!\! \int_{\cal S} \; \left( \hat{u} - u \right)^2 dS \right]^{1/2}$$ (35)

dove $\hat{u}$ è la soluzione numerica calcolata mediante il codice agli elementi finiti e $u$ e la soluzione analitica (5). L'integrale (35) può essere calcolato numericamente mediante la ``midpoint rule'', vale a dire:

$$\varepsilon = \left\{ \sum_{i=1}^n \left[ \left( \hat{u}_i - u_i \right)^2 \sum_e \frac{\Delta}{3} \right] \right\}^{1/2}$$ (36)

in cui la sommatoria sugli elementi $e$ è estesa a tutti i triangoli aventi in comune il nodo $i$. In pratica, il quadrato della differenza fra la soluzione numerica e quella analitica su ciascun nodo va pesato con l'area afferente al nodo già memorizzata per il computo delle componenti del termine noto.

Vengono assegnate 4 griglie di calcolo ottenute raffinando regolarmente la triangolazione iniziale. Per ciascuna griglia vengono inoltre fornite due versioni, la prima con la numerazione dei nodi originale definita dal software MeshMaker e la seconda rinumerata in modo da ottimizzare la banda della matrice di rigidezza del sistema.

Lo studente descriva lo svolgimento dell'esercitazione in una breve relazione completata dai seguenti allegati minimi:

• tabella di confronto fra la soluzione numerica e quella analitica per la griglia più grossolana con il calcolo dell'errore puntuale;
• diagrammi di convergenza in scala semilogaritmica del GCM per la soluzione del sistema: si presenti un diagramma con tutti i profili di convergenza relativi alle mesh assegnate ottenuti partendo da $x$$_0=K^{-1}$   $f$ ed utilizzando sia $K^{-1}=D^{-1}$ che $K^{-1}=(\tilde{L}\tilde{L}^T)^{-1}$. Si ponga sull'asse delle ascisse il numero di iterazioni e sull'asse delle ordinate la norma euclidea del residuo relativo;
• diagramma di convergenza in scala semilogaritmica del GCM per la soluzione del sistema con 1, 2, 5, 10 e 20 iterazioni preliminari effettuate con lo schema delle Correzioni Residue: per questo test si utilizzi la mesh più fine usando $K^{-1}=(\tilde{L}\tilde{L}^T)^{-1}$;
• tabella riassuntiva dei risultati in cui siano riportati ad ogni raffinamento successivo della triangolazione: (a) il valore $\varepsilon$ dell'errore, (b) il rapporto fra l'errore corrispondente alla griglia corrente ed alla griglia meno raffinata immediatamente precedente; (c) l'autovalore minimo del problema generalizzato.
• il listato completo del codice di calcolo.

N.B. All'esame non sono ammessi grafici, relazioni e codici fotocopiati: tutto il materiale deve essere esibito in originale.