Soluzione del sistema lineare

Poiché la matrice di rigidezza $H$ è sparsa, simmetrica e definita positiva, il sistema lineare (9), risultante dalle procedure di assemblaggio dei contributi locali sugli elementi e del termine noto, e dall'imposizione delle condizioni al contorno, viene risolto con il metodo del Gradiente Coniugato Modificato (GCM).

La velocità di convergenza del GCM risulta essere controllata dal rapporto $\lambda_1/\lambda_n$ fra gli autovalori (positivi) estremi della matrice di iterazione $E=HK^{-1}$. Le migliori performance si ottengono, in genere, adottando come matrice di precondizionamento la decomposta incompleta di Cholesky definita secondo Kershaw. La convergenza può essere ulteriormente accelerata migliorando preliminarmente la stima $\bu_0$ della soluzione iniziale con poche (2-3) iterazioni dello schema delle correzioni residue (CR). L'iterazione del GCM è completata quando il residuo relativo è inferiore ad una prefissata tolleranza, comunque non superiore a $10^{-6}$.