Assemblaggio della matrice di rigidezza globale dai contributi locali

Si possono ora calcolare gli elementi della matrice di rigidezza H. La matrice globale viene calcolata tramite un processo di assemblaggio dei contributi locali di ciascun elemento finito.

Si definisce dunque una matrice di rigidezza locale di dimensione i cui elementi sono dati da:

La matrice globale si ottiene tramite l'assemblaggio dei contributi dei diversi elementi:

Si noti come gli elementi della matrice locale di rigidezza individuino le righe e le colonne della matrice globale corrispondenti ai nodi dell'elemento. Con riferimento sempre al triangolo di vertici i, j e m, l'elemento della matrice locale andr sommato all'elemento diagonale della matrice globale relativo al nodo i, e dunque all'elemento , mentre l'elemento dovr essere sommato all'elemento della matrice globale relativo ai nodi i e j: . Analogamente l'elemento andr a contribuire all'elemento della matrice globale , e cos via.

Si consideri, per esempio, la mesh di Figura 7, dove i nodi sono individuati da numeri scritti in carattere normale, mentre gli elementi sono individuati da numeri scritti in grassetto. Il nodo centrale 13 circondato dagli elementi 12,13,14 e 19,20,21, che, data la propriet delle funzioni base di avere supporto locale, saranno gli unici a contribuire all'equazione relativa al nodo stesso. La matrice locale , e= 12,13,14,19,20,21, riportata in Figura 8.

  
Figure 7: Esempio di triangolazione regolare con triangoli rettangoli.

  
Figure 8: Matrice locale di rigidezza relativa al nodo 13 di Figura 7. Si noti che gli elementi sono scritti in carattere grassetto, mentre i nodi sono in carattere normale.

L'assemblaggio viene eseguito calcolando il contributo che ciascun elemento fornisce all'equazione relativa al nodo 13 (Figura 9)

  
Figure 9: Schema di assemblaggio per l'equazione relativa al nodo 13

L'algoritmo che esegue l'assemblaggio si complica per il fatto che la matrice di rigidezza globale memorizzata in forma compatta. In pratica tale algoritmo si puø riassumere come segue.

Per ciascun triangolo:

1. ordinare in senso crescente i nodi del triangolo e memorizzare gli indici di posizionamento. Per esempio memorizzare nel vettore I1 gli indici dell'elemento ordinati in senso crescente e in I3 le posizioni iniziali corrispondenti ai nodi di I1.
2. Individuare la posizione nella matrice globale di ogni elemento della matrice locale. Per ciascun nodo K del triangolo (k=1,3):
   1. determinare la posizione IND in IAC dell'elemento diagonale corrispondente al nodo considerato. Sommare all'elemento di posizione IND nella matrice globale COEF l'elemento diagonale della matrice locale.
   2. per i rimanenti nodi m (m=k+1,3) scandire in IAC gli elementi extradiagonali di COEF nella riga corrispondente al nodo K e determinare la posizione IND1 che individua il nodo I1(m). Sommare a COEF in posizione IND1 l'elemento della matrice locale corrispondente ai nodi opportuni, e cio l'elemento di indici I3(k),I3(m).

Per esempio per i triangoli di Figura 5, la cui tabella data da:

le matrici locali di rigidezza, con indicati gli indici relativi alla posizione nella matrice globale, sono:

Indicando con COEF la matrice globale memorizzata in modo compatto, e con HL quella locale, il processo di assemblaggio per tali triangoli avviene come segue.

elemento 1:

1. ordinamento

   :
   I1 = 1, 2, 4
   I3 = 3, 1, 2

2. k=1

   (primo nodo nella lista)

   m=1

   (nodo diagonale)
   IND=IAT(I1(1))=IAT(1)=1 posizione elemento diagonale
   COEF(1)=COEF(1)+HL(3,3)

   m=2

   (nodo successivo)
   IND1=2 posizione successiva nella riga
   IAC(2)=2; individua il nodo 2 nella terna ordinata: I1(2)=2.
   COEF(2)=COEF(2)+HL(3, 1)

   m=3

   (nodo successivo)
   IND1=3 posizione successiva nella riga
   IAC(3)=4; individua il nodo 4 nella terna ordinata: I1(3)=4.
   COEF(3)=COEF(3)+HL(3, 2)

   k=2

   (secondo nodo nella lista)

   m=2

   (nodo diagonale)
   IND=IAT(2)=4 posizione elemento diagonale
   COEF(4)=COEF(4)+HL(1,1)

   m=3

   (nodo successivo)
   IND1=5 posizione successiva nella riga
   IAC(5)=3; individua il nodo 3 nella terna ordinata: I1(3)=4: non sono uguali, e quindi non corrispondono.
   IND1=6 posizione successiva nella riga
   IAC(6)=4; individua il nodo 4 nella terna ordinata: I1(3)=4.
   COEF(6)=COEF(6)+HL(1, 2)

   k=3

   (ultimo nodo nella lista)

   m=3

   (nodo diagonale)
   

   IND=IAT(3)=7 posizione elemento diagonale
   COEF(7)=COEF(7)+HL(2,2)

elemento 2:

1. ordinamento

   :
   I1 = 2, 3, 4
   I3 = 1, 3, 2

2. k=1

   (primo nodo nella lista)

   m=1

   (nodo diagonale)
   IND=IAT(I1(1))=IAT(2)=4 posizione elemento diagonale
   COEF(4)=COEF(4)+HL(1,1)

   m=2

   (nodo successivo)
   IND1=5 posizione successiva nella riga
   IAC(5)=3; individua il nodo 3 nella terna ordinata: I1(2)=3.
   COEF(5)=COEF(5)+HL(1, 3)

   m=3

   (nodo successivo)
   IND1=6 posizione successiva nella riga
   IAC(6)=4; individua il nodo 4 nella terna ordinata: I1(3)=4.
   COEF(6)=COEF(6)+HL(1, 2)

   k=2

   (secondo nodo nella lista)

   m=2

   (nodo diagonale)
   IND=IAT(3)=7 posizione elemento diagonale
   COEF(7)=COEF(7)+HL(3,3)

   m=3

   (nodo successivo)
   IND1=8 posizione successiva nella riga
   IAC(8)=4; individua il nodo 4 nella terna ordinata: I1(3)=4.
   COEF(8)=COEF(8)+HL(3, 2)

   k=3

   (ultimo nodo nella lista)

   m=3

   (nodo diagonale)
   IND=IAT(4)=9 posizione elemento diagonale
   COEF(9)=COEF(9)+HL(2,2)