Griglie di calcolo ad elementi finiti

Il modello matematico di un qualsiasi problema ingegneristico corrisponde a calcolare in un determinato dominio $\Omega$ l'andamento di una funzione di interesse, generalmente a più variabili, che soddisfi un'equazione differenziale alle derivate parziali (PDE). Ad esempio, in problemi di flusso sotterraneo si vuole determinare l'andamento del potenziale idraulico di un acquifero nota la ricarica a monte e l'estrazione nel tempo effettuata a valle. Ciò si riconduce alla ricerca della funzione $\Phi$ soluzione, nello spazio e nel tempo, dell'equazione differenziale della diffusione nei mezzi porosi:

$$\frac{\partial}{\partial x} \left( T_x \frac{\partial \Phi}{\part... ...left( x,y,z \right) \frac{\partial \Phi}{\partial t} + f \left( x,y,z,t \right)$$ (1)

in cui $T_x,T_y,T_z,S_s$ sono degli opportuni parametri (trasmissività e immagazzinamento) del sottosuolo, variabili nello spazio, ed $f$ una forzante che definisce la ricarica e le estrazioni nello spazio e nel tempo. Il dominio $\Omega$ su cui va risolta l'equazione (1) sarà quello dell'acquifero in esame. Casi analoghi si possono trovare in altri settori dell'ingegneria, come ad esempio in problemi di ricerca dell'equilibrio elastico di una determinata struttura, come una piastra o una membrana, in cui il volume di integrazione coincide con quello del corpo da esaminare e le funzioni incognite sono gli spostamenti e le tensioni lungo le direzioni coordinate.

Dall'analisi matematica è noto che la soluzione a tali problemi si puø ricavare in forma chiusa solo in particolari circostanze di simmetria ed uniformità del dominio $\Omega$ che praticamente mai vengono soddisfatte nella realtà. Il metodo degli elementi finiti permette di determinare una soluzione approssimata all'equazione differenziale in esame in un dominio qualsiasi, calcolando una funzione discreta anziché continua della quale vengono forniti i valori solamente in determinati punti. Tali punti sono chiamati i nodi della griglia di calcolo. La soluzione discreta dell'equazione differenziale è calcolata in volumi elementari definiti da gruppi di nodi adiacenti, che costituiscono gli elementi finiti. La contemporanea soluzione in tutti i volumi elementari in cui si suddivide il dominio imponendo opportune condizioni di congruenza sugli elementi adiacenti costituisce il risultato del modello numerico.

Da quanto accennato appare evidente l'importanza di discretizzare adeguatamente il dominio di integrazione per ottenere una soluzione il più possibile vicina alle nostre specifiche esigenze progettuali. Ad esempio, in un problema strutturale sarà necessario addensare i nodi della griglia, e quindi raffinare gli elementi finiti della mesh di calcolo, soprattutto in prossimità delle zone in cui si prevede una maggiore sollecitazione, così come in un problema di flusso risulterà importante aumentare la quantità di nodi soprattutto laddove si prevede una rapida variazione del gradiente idraulico, cioè in prossimità di pozzi o di sorgenti. In Figura 1 sono riportati due esempi di mesh ad elementi finiti (2-D e 3-D) realizzate in reali applicazioni di ingegneria, da cui si può osservare la forte disomogeneità nella distribuzione dei nodi e degli elementi richiesta dallo specifico problema in esame.

Figura 1: Esempi di discretizzazioni 2-D e 3-D per la soluzione di problemi geomeccanici e fluidodinamici nel sottosuolo e per la previsione del trasporto superficiale in un corso d'acqua con bacini artificiali.

Esistono svariati tipi di elementi che possono essere utilizzati per discretizzare nel modo più appropriato il dominio di interesse. La scelta dell'elemento più adeguato dipende sostanzialmente dallo specifico problema e dalle caratteristiche della soluzione cercata. La presente nota si concentra, in particolare, sulla costruzione di griglie di calcolo ad elementi finiti triangolari a 3 nodi su domini piani di forma generica. Come si vedrà meglio in seguito, tali elementi consentono una approssimazione lineare della funzione incognita sull'elemento.