Assemblaggio della matrice di rigidezza dai contributi locali

Definita la topologia della matrice di rigidezza $H$ mediante la costruzione dei vettori JA e IA, è ora necessario ricavare il vettore il coefficienti non nulli SYSMAT. Come si vedrà meglio in seguito, la matrice globale $H$ si ottiene da un processo di assemblaggio dei contributi locali calcolati su ciascun elemento finito che viene generalmente indicato con la seguente simbologia:

$$H_{i,j} = \sum_e H_{i,j}^{(e)}$$

I contributi locali sono contenuti in una matrice $H^{(e)}$ di dimensione $n^{(e)} \times n^{(e)}$, dove $n^{(e)}$ è il numero di nodi individuati nell'elemento finito prescelto. Ad esempio, con una griglia triangolare la matrice di rigidezza locale $H^{(e)}$ ha dimensione $3 \times 3$.

Si consideri il generico elemento triangolare di nodi $i,j,m$, in cui $i$ è il primo nodo, $j$ il secondo ed $m$ il terzo. L'operazione di assemblaggio viene eseguita collegando a ciascun elemento della matrice locale la posizione corrispondente nella matrice globale. Ad esempio, il coefficiente locale $h_{1,1}^{(e)}$, che si riferisce al primo nodo dell'elemento $e$, andrà collegato al coefficiente diagonale globale $h_{i,i}$, mentre il coefficiente $h_{1,2}^{(e)}$, che si riferisce all'interazione del primo col secondo nodo di $e$, va collegato ad $h_{i,j}$, e così via. Poiché ad uno stesso nodo concorrono più elementi finiti, ci sono più termini locali provenienti da diversi elementi che andranno collegati al medesimo termine globale. Essi perciò andranno sommati ai valori precedentemente accumulati nella matrice di rigidezza globale.

Per chiarire il concetto, si consideri nuovamente il patch di elementi di Figura 1. Supponiamo di eseguire l'assemblaggio del contributo locale dell'elemento 13 caratterizzato dalla successione nodale 7, 6, 11. La matrice di rigidezza locale si collega ai nodi globali secondo il seguente schema:

	7	6	11
7	$h_{1,1}^{(13)}$	$h_{1,2}^{(13)}$	$h_{1,3}^{(13)}$
6	$h_{2,1}^{(13)}$	$h_{2,2}^{(13)}$	$h_{2,3}^{(13)}$
11	$h_{3,1}^{(13)}$	$h_{3,2}^{(13)}$	$h_{3,3}^{(13)}$

da cui si evince immediatamente che $h_{1,1}^{(13)}$ andrà collegato all'elemento $h_{7,7}$, $h_{1,2}^{(13)}$ all'elemento $h_{7,6}$, $h_{1,3}^{(13)}$ all'elemento $h_{7,11}$, e così via. Si osservi che, peraltro, a causa della simmetria di $H$, vengono memorizzati solo gli elementi relativi alla parte triangolare alta della matrice globale, per cui del contributo locale dato dal triangolo 13 interesseranno solamente gli elementi diagonali e quelli relativi ad $h_{6,7}$, $h_{6,11}$ ed $h_{7,11}$.

Come precedentemente accennato, per calcolare i termini globali di $H$ si sommano i termini locali che concorrono al medesimo nodo. Ad esempio, l'assemblaggio del termine diagonale $h_{7,7}$ viene effettuato sommando tutti i contributi locali derivanti dagli elementi che afferiscono al nodo 7. Nel caso in esame, si tratta degli elementi 8, 9, 10, 13 e 14, descritti nel file topol nel modo seguente:

...
8	8	7	12	1
9	8	3	7	1
10	3	6	7	1
...
13	7	6	11	1
14	7	11	12	1
...

L'elemento globale $h_{7,7}$ risulterà pertanto:

$$h_{7,7} = h_{2,2}^{(8)} + h_{3,3}^{(9)} + h_{3,3}^{(10)} + h_{1,1}^{(13)} + h_{1,1}^{(14)}$$

Ad esempio, l'elemento extra-diagonale $h_{7,11}$ riceverà un contributo dai soli elementi che hanno in comune il lato definito dai nodi 7 e 11, cioè i triangoli 13 e 14. Dunque si avrà:

$$h_{7,11} = h_{1,3}^{(13)} + h_{1,2}^{(14)}$$